X1112848 คำถามลองภูมิ #6

ความคิดเห็นที่ 6

จะลองดูนะครับ

พิจารณา สามเหลี่ยมตรงแฉกของรูปดาว
เอารูปที่อยู่บนสุดแล้วกันครับ

สามเหลี่ยมนี้จะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ให้เรียกมุมยอด (ที่ติดกับวงกลม) ว่า A
เรียกมุมที่ฐานทางซ้ายว่า B มุมทางขวาว่า C
และเรียกจุดศูนย์กลางของวงกลมว่า D

จากนั้น ลากเส้นตรงจาก B ไป D (จุดศูนย์กลางของวงกลม)
และจาก C ไป D
จะได้ว่า สามเหลี่ยม BDC ก็เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดยมีฐานคือ BC

ต่อไป ลากเส้นตรงเชื่อม A และ D
โดยเส้นตรงนี้จะตัดเส้นตรง BC
(ที่เป็นทั้งฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว BAC และ BDC) ที่จุด E

พิจารณามุม BDC จะได้ว่าเกิดจากการแบ่งมุม 360 องศา หรือ 2 pi ออกเป็น 7 ส่วน
ดังนั้น มุม BDC = 2 pi/7

พิจารณามุม DBE จากคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
จะได้ว่า มุมนี้เท่ากับ ( pi - 2 pi/7 ) / 2 = 5 pi/14
ดังนั้น มุม DBE = 5 pi/14

พิจารณามุม ABE จากรูปดาวในโจทย์ จะได้ว่า มุมนี้เท่ากับ
pi - มุมภายในของรูปเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่า = pi - 5 pi/7 = 2 pi/7 = 4 pi/14
(พิจารณา จากการตัดกันของเส้นตรง 2 เส้น ที่เป็นด้านประกอบแฉก)

ถึงตอนนี้ เราได้มุมสำคัญๆเรียบร้อยแล้ว
ต่อไปจะพิจารณาด้านต่างๆบ้าง

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก BED โดยมีมุม BED เป็นมุมฉาก จะได้ว่า
DE/BE = tan(มุม DBE) = tan(5 pi/14) หรือ
DE = BE x tan(5 pi/14) ------ สมการ 1

จากสามเหลี่ยมมุมฉาก AEB โดยมีมุม AEB เป็นมุมฉาก จะได้ว่า
AE/BE = tan(มุม ABE) = tan(4 pi/14) หรือ
AE = BE x tan(4 pi/14) ------ สมการ 2

ดังนั้น พื้นที่สามเหลี่ยม BDC = 1/2 x BC x DE = 1/2 x 2BE x DE = BE x DE
และ พื้นที่สามเหลี่ยม BAC = 1/2 x BC x AE = 1/2 x 2BE x AE = BE x AE

รวมพื้นที่ของสามเหลี่ยม BDC และ BAC =
BE x DE + BE x AE = BE x (DE + AE) = BE x r ------ สมการ 3

จากสมการ 1 และ 2
r = DE + AE = BE x ( tan(5 pi/14) + tan(4 pi/14) ) หรือ
BE = r / ( tan(5 pi/14) + tan(4 pi/14) )
แทนกลับไปในสมการ 3 จะได้
พื้นที่รวมของสามเหลี่ยม BDC และ BAC = r^2 / ( tan(5 pi/14) + tan(4 pi/14) )

พื้นที่ของรูปดาวเท่ากับ 7 เท่า ของพื้นที่นี้
ดังนั้น พื้นที่รูปดาวเท่ากับ 7 r^2 / ( tan(5 pi/14) + tan(4 pi/14) )

จากคุณ : หมูทอง - [27 ก.ย. 44 16:34:59]