X2255239 มีโจทย์เลขอนุกรมมาให้ลองเล่นดูครับ [วิทยาศาสตร์-เทคโนโลยี]

Thailand Travel
Thailand Hotels

มีโจทย์เลขอนุกรมมาให้ลองเล่นดูครับ

ให้พิสูจน์ที่มาของสูตรชัดแจ้งนี้

จะกลับมาเฉลยวันที่ 1 มิถุนายนครับ

จากคุณ : the apprentice paragon - [ 13 พ.ค. 46 07:50:11 ]

ความคิดเห็นที่ 1

วิธีนี้อาจจะ Advance นิดนึงนะ
กำหนด S_n = ๅ i⁴
S_n - S_n-1 = n⁴

จะเห็นได้ว่า สมการนี้เป็นสมการผลต่างสืบเนื่อง (Difference equation)

ดังนั้นจะมีคำตอบอยู่สองส่วน คือ
ฟังก์ชั่นเติมเต็ม (Complementary function) แล้วก็ อินทิกรัลเฉพาะราย (Particular Integral) : S_n = y_c+y_p

y_c หาได้จาก สมการช่วย (Auxilary Equation) : (m-1) = 0 -----> m = 1

ดังนั้น y_c = k*(1)^x = constant

y_p หาได้จากการสมมติค่าฟังก์ชั่น : y_p = An⁴+Bn³+Cn²+Dn+E

เนื่องจาก อินทิกรัลเฉพาะรายมีส่วนที่ซ้ำกับฟังก์ชั่นเติมเต็มดังนั้นเราต้องคูณ n เพิ่มไปด้วย

y_p = An⁵+Bn⁴+Cn³+Dn²+En

ดังนั้น S_n = An⁵+Bn⁴+Cn³+Dn²+En+k

เนื่องจาก S_n - S_n-1 = n⁴

An⁵+Bn⁴+Cn³+Dn²+En+k - A(n-1)⁵-B(n-1)⁴-C(n-1)³-D(n-1)²-E(n-1)-k = n⁴

5An⁴+(4B-10A)n³+(3C+10A-6B)n²+(2D-5A+4B-3C)n+(E+A-B+C-D) = n⁴

จากการเทียบสัมประสิทธฺ จะได้ว่า

5A =1 ---> A = 1/5
4B-10A = 0 ---> B = 1/2
3C+10A-6B = 0 ---> C = 1/3
2D-5A+4B-3C = 0 ---> D = 0
E+A-B+C-D = 0 ---> E = -1/30

ดังนั้น S_n = 1/5n⁵+1/2n⁴+1/3n³-1/30n+k

แต่ S₁ = 1 -----> 1/5+1/2+1/3-1/30+k = 1 ---> k = 0

ดังนั้น S_n = 1/5n⁵+1/2n⁴+1/3n³-1/30n = 1/30 n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)

จากคุณ : J-a-y - [ 13 พ.ค. 46 12:23:43 ]

ความคิดเห็นที่ 2

งั้นเอาแบบง่ายบ้างนะครับ

จากคุณ : @id - [ 13 พ.ค. 46 13:22:53 ]

ความคิดเห็นที่ 3

...

จากคุณ : @id - [ 13 พ.ค. 46 13:23:42 ]

ความคิดเห็นที่ 4

ต่อครับ

จากคุณ : @id - [ 13 พ.ค. 46 13:26:28 ]

ความคิดเห็นที่ 5

สุดท้ายครับ

จากคุณ : @id - [ 13 พ.ค. 46 13:27:32 ]

ความคิดเห็นที่ 6

เอา พวก เอ็งเก่ง 555555

จากคุณ : jkhw - [ 13 พ.ค. 46 15:26:25 A:203.144.202.24 X: ]

ความคิดเห็นที่ 7

ไม่ค่อยเข้าใจอะคับ
#3
จากบรรทัดที่หนึ่งข้างซ้าย มานกลายเปนบรรทัดที่สองข้างซ้ายได้งายงะ

จากคุณ : ษัยแษ - [ 13 พ.ค. 46 19:29:17 A:203.145.28.48 X: ]

ความคิดเห็นที่ 8

ช่วยตอบความเห็นที่7
คุณลองแทน i = 1 ลงในสมการด้านซ้ายบรรทัดที่1 จะได้ว่าเริ่มผลบวกตั้งแต่2ขึ้นไปดังนั้นในบรรทัดที่ 2 ด้านซ้ายเมื่อเริ่ม sum ตั้งแต่ i = 1 จนถึง i = n ดังนั้นจึงต้องลบออก 1 และเพิ่มพจน์ n+1 เข้าไปเพื่อให้เท่ากับอันบน

จากคุณ : K - [ 13 พ.ค. 46 20:49:23 A:202.57.173.215 X: ]

ความคิดเห็นที่ 9

ๅ (i+1)^3 i=1,2,3...n = ๅ i^3 i=2,3,4,...,(n+1)

จากคุณ : prasitstar - [ 14 พ.ค. 46 00:35:30 ]

ความคิดเห็นที่ 10

ขอบคุณครับ #8 ที่ช่วยมาตอบให้

จากคุณ : @id - [ 14 พ.ค. 46 16:31:30 ]

ความคิดเห็นที่ 11

เยี่ยมมากครับ คุณ : @id

จากคุณ : prasitstar - [ 15 พ.ค. 46 01:15:45 ]

ความคิดเห็นที่ 12

ยอดเยี่ยมมากทั้งสองคำตอบครับ

นี่เป็นเฉลยแบบที่สาม
sigma.pdf

ขอบคุณทุกความเห็นครับ

จากคุณ : the apprentice paragon - [ 19 พ.ค. 46 21:47:36 ]